나비에-스토크스 방정식, 3차원 매끄러운 해는 왜 미해결인가

나비에-스토크스 방정식이 다시 언급되는 핵심 이유는 3차원에서 시작 상태가 매끄러울 때 해가 모든 시간 동안 계속 매끄럽게 존재하는지를 아직 증명하지 못했기 때문이다. 이 문제는 클레이 수학연구소가 제시한 밀레니엄 문제 가운데 하나로 남아 있으며, 현재 공개된 내용만으로는 일반적인 해가 언제나 매끄럽다고 결론 내릴 수 없다. 출처 1

핵심 내용

• 매끄러운 초기자료가 주어지면 해는 적어도 단시간에는 존재한다.
• 그러나 그 해가 시간이 계속 지나도 매끄러움을 유지하는지는 증명되지 않았다.
• 따라서 쟁점은 단순히 해를 처음 구할 수 있는지가 아니라, 3차원에서 그 해의 장기적인 성질을 일반적으로 보장할 수 있는지에 있다. 출처 2

왜 밀레니엄 문제로 남았나

이 문제의 난점은 이미 확인된 단시간 존재 결과와, 아직 확인되지 않은 전 시간 구간의 매끄러움 사이에 있다. 수학자들은 매끄러운 초기자료에서 출발한 해가 모든 시간에 걸쳐 유지된다는 것을 보이거나, 그와 다른 경우가 있음을 밝혀야 한다. 하지만 제공된 자료가 확인하는 범위에서는 어느 쪽도 일반적으로 증명됐다고 볼 수 없다. 출처 1출처 2

‘미해결’이 뜻하는 범위

여기서 미해결이라는 말은 나비에-스토크스 방정식 전체가 사용 불가능하거나 해가 전혀 없다는 뜻이 아니다. 근거 자료는 매끄러운 초기자료에 대한 단시간 해의 존재를 분명히 언급한다. 다만 3차원 문제에서 모든 시간 동안 매끄러움이 이어진다는 전역적 결론이 증명되지 않았다는 것이 현재의 정확한 상황이다. 출처 2