나비에 스톡스 방정식 항과 비압축성 조건 이해

나비에 스톡스는 비압축성 뉴턴 유체의 속도가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 방정식이다. 제시된 형태에서는 속도장 (\mathbf{u})의 시간 변화와 유동에 따른 변화가 압력, 점성, 외력의 영향을 받아 결정되며, 비압축성 조건인 (\nabla\cdot\mathbf{u}=0)을 함께 적용한다. 출처 1 출처 3

핵심 내용

비압축성 뉴턴 유체의 나비에-스톡스 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[\partial_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p/\rho+\nu\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{g}]

왼쪽은 유체 속도 (\mathbf{u})가 변하는 흐름을, 오른쪽은 그 변화에 작용하는 압력·점성·외력의 항을 담는다. 출처 1

• (\partial_t\mathbf{u}): 시간에 따른 속도장의 변화다.
• ((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}): 유체가 흐르면서 속도장이 달라지는 항이다.
• (-\nabla p/\rho): 압력 구배에 따른 압력힘을 나타낸다.
• (\nu\nabla^2\mathbf{u}): 점성에 의한 속도 확산 항이다.
• (\mathbf{g}): 유체 전체에 작용하는 체적 외력이다. 출처 1 출처 2

비압축성 조건이 함께 필요한 이유

이 방정식만으로 비압축성 조건이 완성되는 것은 아니다. 속도장은 연속방정식의 조건인 (\nabla\cdot\mathbf{u}=0)도 만족해야 한다. 이는 비압축성 유동을 다룰 때 속도장의 발산이 0이라는 조건으로 제시된다. 출처 3

따라서 식을 읽을 때는 압력·점성·외력이 속도 변화에 어떤 항으로 들어가는지와 함께, 속도장 자체가 발산 0 조건을 따른다는 점을 묶어 보는 것이 핵심이다. 공개된 내용만으로는 이 식에 특정 경계조건이나 개별 유동 사례를 어떻게 적용하는지까지는 확인되지 않는다. 출처 1 출처 2 출처 3