나비에 스토크스 방정식 구성: 비압축성 유체의 연속·운동량 방정식

나비에 스토크스 방정식은 유체의 속도와 압력이 시간·공간에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 식이다. 비압축성 뉴턴 유체를 이해할 때 핵심은 ‘유체가 쌓이거나 비지 않는다’는 연속방정식과, 그 유체가 압력·점성·외력에 따라 움직인다는 운동량 방정식을 함께 읽는 데 있다. 이 두 식의 역할을 구분하면 방정식의 구성이 훨씬 선명해진다. 출처 1

핵심 내용

나비에 스토크스 방정식은 질량보존을 뜻하는 연속방정식, 운동량보존을 뜻하는 운동방정식, 그리고 뉴턴 유체의 구성법칙을 결합해 유도된다. 여기서 뉴턴 유체라는 조건은 점성에 의한 내부 마찰력을 속도 변화와 연결해 운동량식에 넣는 역할을 한다. 출처 1

비압축성 조건에서는 연속방정식이 가장 먼저 정리된다. 일반적인 질량보존식은(\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0)이며, 밀도 (\rho)가 일정한 경우에는 속도장 (\mathbf{u})의 발산이 0이라는 식, 즉 (\nabla\cdot\mathbf{u}=0)으로 단순화된다. 이는 특정 지점에서 유체가 순식간에 축적되거나 사라지지 않는다는 조건을 수학적으로 표현한 것이다. 출처 2

운동량 방정식은 비압축성 뉴턴 유체에서 다음과 같이 쓸 수 있다.(\rho(\partial_t\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u})=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{g})

왼쪽은 유체의 속도가 시간에 따라, 또 흐름을 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다. 오른쪽에서는 (-\nabla p)가 압력에 따른 표면력, (\mu\nabla^2\mathbf{u})가 속도구배에서 생기는 점성의 내부 마찰력, (\rho\mathbf{g})가 유체 전체에 작용하는 체적력에 해당한다. 출처 3 [출처 4]

두 방정식을 함께 보는 이유

연속방정식의 (\nabla\cdot\mathbf{u}=0)은 비압축성 흐름이 만족해야 할 조건이고, 운동량 방정식은 그 조건 아래에서 속도와 압력이 어떤 힘의 균형 속에 결정되는지를 제시한다. 따라서 비압축성 나비에 스토크스 방정식은 단일한 식 하나라기보다, 발산이 0인 속도장과 압력·점성·체적력을 포함한 운동량식이 결합된 체계로 이해하는 것이 정확하다. 출처 2 출처 3